Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

$H$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі болып табылады. $H$ нүктесі арқылы өзара перпендикуляр $l_1$ және $l_2$ түзулері жүргізілген. $l_1$ түзуі $BC$ қабырғасы мен $AB$ қабырғасының созындысын сәйкесінше $D$ және $Z$ нүктелерінде қияды. Ал $l_2$ түзуі $BC$ қабырғасы мен $AC$ қабырғасының созындысын сәйкесінше $E$ және $X$ нүктелерінде қияды. Жазықтықтағы $Y$ нүктесі — ${YD\parallel AC}$ және ${YE\parallel AB}$ болатындай нүкте. $X, Y, Z$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Обозначим пересечения прямых $l_1,l_2$ с прямыми $AC$ и $AB$ за $F$ и $G$.

Далее можно применить теорему Дроз-Фарни:

то есть середины $ZG,ED,XF$ лежат на одной прямой, а это равносильно тому, что $(ZHG),(EHD),(XHF)$ имеют вторую общую точку $M$.

Пусть $(EHD)$ будет $\delta$. Тогда $\delta\cap YE=L,\delta \cap YD=K$. По лемме Фусса, так как $LE||ZG$ получается, что $Z,L,M$ лежат на одной прямой. $X,K,M$ аналогично лежат на одной прямой. Теперь очевидно можно применить теорему Паскаля для $HDKMLE$, вписанного в окружность $\delta$. Из последнего следует утверждение задачи.