2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, третья лига, 11-12 классы

Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно, пересекаются в точках $A$ и $B$. Точка $X$ лежит на $\omega_2$, а точка $Y$ лежит на $\omega_1$ так, что $\angle{XBY}=90^\circ$. Пусть $X'$ вторая точка пересечения прямой $O_1X$ и окружности $\omega_2$, а $K$ вторая точка пересечения прямой $X'Y$ и окружности $\omega_2$. Докажите, что $X$ — середина дуги $AK$ окружности $\omega_2$.

Комментарий/решение

$Z=XB \cap \omega_1 \Rightarrow \angle AYZ=\angle AX'X=\angle O_1AY=\angle YX'O_1=\angle KX'O_1=\angle KAX \Leftrightarrow XA=XK.$