Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 3-ші лига (11-12 сыныптар)

Центрлері сәйкесінше $O_1$ және $O_2$ нүктелері болатын $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $X$ нүктесі $\omega_2$-де, ал $Y$ нүктесі $\omega_1$-де $\angle{XBY}=90^\circ$ болатындай жатыр. $X'$ нүктесі $O_1X$ түзуі мен $\omega_2$ шеңберінің екінші қиылысу нүктесі, ал $K$ нүктесі $X'Y$ түзуі мен $\omega_2$ шеңберінің екінші қиылысу нүктесі болып табылады. $X$ нүктесі $\omega_2$-нің $AK$ доғасының ортасы болатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$Z=XB \cap \omega_1 \Rightarrow \angle AYZ=\angle AX'X=\angle O_1AY=\angle YX'O_1=\angle KX'O_1=\angle KAX \Leftrightarrow XA=XK.$