3-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2016 год, первая лига, 7-8 классы

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle A=90^{\circ}$) серединный перпендикуляр к гипотенузе $BC$ пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BK$ пересекает прямую $AB$ в точке $L$. Оказалось, что $CL$ — биссектриса угла $ACB$. Найдите все возможные значения углов $B$ и $C$.

Комментарий/решение

$KB =KC, BL = KL$

Пусть $\angle ACL = \angle BCL = \alpha, \angle ABC = 90 - 2\alpha$ , так как $\angle KBC = \angle KCB \Rightarrow \angle KBA = 4\alpha - 90, \angle KLA = 2\angle KBA = 8\alpha - 180 \Rightarrow \angle LKA = 270 - 8\alpha$

По теореме биссектрисы $BLC, \frac{BL}{AL} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sin 90 - 2\alpha}$

В треугольнике $KLA ,\frac{KL}{AL} = \frac {1}{\sin 270 - 8\alpha}$

Откуда $\sin 90 - 2\alpha = \sin 270 - 8\alpha \Rightarrow B = 30,C = 60;B = 54, C= 36$