Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 1-ші лига (7-8 сыныптар)

Тік бұрышты $ABC$ үшбұрышында ($\angle{A}=90^\circ$) $BC$ кесіндісінің орта перпендикуляры $AC$ түзуін $K$, ал $BK$ кесіндісінің орта перпендикуляры $AB$ түзуін $L$ нүктеде қияды. Егер $CL$ кесіндісі — $ABC$ үшбұрышында $C$ бұрышының ішкі биссектрисасы болса, онда $B$ мен $C$ бұрыштарының барлық мүмкін мәндерін табыңыздар.

Комментарий/решение

$KB =KC, BL = KL$

Пусть $\angle ACL = \angle BCL = \alpha, \angle ABC = 90 - 2\alpha$ , так как $\angle KBC = \angle KCB \Rightarrow \angle KBA = 4\alpha - 90, \angle KLA = 2\angle KBA = 8\alpha - 180 \Rightarrow \angle LKA = 270 - 8\alpha$

По теореме биссектрисы $BLC, \frac{BL}{AL} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sin 90 - 2\alpha}$

В треугольнике $KLA ,\frac{KL}{AL} = \frac {1}{\sin 270 - 8\alpha}$

Откуда $\sin 90 - 2\alpha = \sin 270 - 8\alpha \Rightarrow B = 30,C = 60;B = 54, C= 36$