Математикадан республикалық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Заметим, что p, q>2. Тогда (2p−p2, pm)=(2q−q2, qn)=1, откуда получим равенства 2p−p2=qn и 2q−q2=pm. Если n — чётное число, то 2p≡p2+qn≡1+1≡2(mod4), что невозможно. Поэтому n — число нечётное. Аналогично и m — нечётное число. Без ограничения общности, положим, что максимальная степень двойки, которая входит в разложение числа p+1, не меньше максимальной степени двойки, которая входит в разложение числа q+1. Тогда p+1=2s⋅p1 и q+1=2s⋅q1, где q1 — нечётное число, а p1 — натуральное. Так как для любого i≥2 верно сравнение (2s⋅q1)i≡0(mod2s+1), то 2p≡p2+qn≡(2s⋅p1−1)2+(2s⋅q1−1)n≡1+n∑i=0(2s⋅q1)i⋅(−1)n−i⋅Cin≡ ≡1+2s⋅q1⋅C1n−C0n≡2s⋅q1⋅n≡2s(mod2s+1), то есть 2p≡2s(mod2s+1). Из последнего сравнения следует, что p=s. Тогда p=2s⋅p1−1=2p⋅p1−1≥2p−1=p∑i=2Cip+p>p, что невозможно.
Продолжу решение выше с момента:
2p=p2+qn,2q=q2+pm,где2∤
Без ог. общности v_2(p+1)\ge v_2(q+1). Заметим, что 2^p=(p^2-1)+(q^n+1). Отсюда видно, что 2^p>p^2-1\implies p>v_2(p^2-1).
Поскольку 2\nmid n, то
q^n+1=(q+1)(q^{n-1}-q^{n-2}+\ldots-q+1).
Очевидно, что число в правой скобке нечетное, поэтому v_2(q^n+1)=v_2(q+1). Тогда
v_2(2^p)=p>v_2(p^2-1)=v_2(p+1)+v_2(p-1)\ge v_2(q+1)+1>v_2(q+1)=v_2(q^n+1)
\implies v_2(2^p)>v_2(p^2-1)>v_2(q^n+1),
откуда получаем противоречие, так как
v_2(2^p)=v_2\bigg( (p^2-1)+(q^n+1) \bigg)=v_2(q^n+1)<v_2(2^p).
ясно что если какое то из них равно 2 то ответа нет тогда давайте докажем при p,q\geq3
лемма x^y-y^x \equiv \ne 0 \pmod {x,y} где x,y взаимно простые ,натуральные ,>1 Доказательство x^y\equiv 0 \pmod{x} , y^x \equiv n \pmod{x}\rightarrow что и требовалось доказать и аналогично с y
Используя выше указанную лемму находим что 2^p-p^2\equiv n \pmod{p}откуда понимаем что 2^q-q^2\equiv o \pmod{p} и аналогично с p ,2^q-q^2=p^m,2^p-p^2=q^n,
лемма 2^q-q^2=l^o не имеет решений при q,l взаимнопросты и q простые при q\geq5 o\geq 2 если мы докажем что это так то мы докаже что и говорится в задаче
заметим что справа все числа делится на l и оно обязательно нечетное заметим что 0 четное тогда понимаем что 2^q-q^2\equiv 7 \pmod{8} \ne l^0 \equiv 1 \pmod{8} что означает мы доказали задачу . если я где то с выводами ошибаюст напишите снизу
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.