Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып


Егер p,q,m,n натурал сандар және p мен q жай болса, онда (2pp2)(2qq2)=pmqn теңдігінің мүмкін емес екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Заметим, что p, q>2. Тогда (2pp2, pm)=(2qq2, qn)=1, откуда получим равенства 2pp2=qn и 2qq2=pm. Если n — чётное число, то 2pp2+qn1+12(mod4), что невозможно. Поэтому n — число нечётное. Аналогично и m — нечётное число. Без ограничения общности, положим, что максимальная степень двойки, которая входит в разложение числа p+1, не меньше максимальной степени двойки, которая входит в разложение числа q+1. Тогда p+1=2sp1 и q+1=2sq1, где q1 — нечётное число, а p1 — натуральное. Так как для любого i2 верно сравнение (2sq1)i0(mod2s+1), то 2pp2+qn(2sp11)2+(2sq11)n1+ni=0(2sq1)i(1)niCin 1+2sq1C1nC0n2sq1n2s(mod2s+1), то есть 2p2s(mod2s+1). Из последнего сравнения следует, что p=s. Тогда p=2sp11=2pp112p1=pi=2Cip+p>p, что невозможно.

пред. Правка 2   10
4 года 3 месяца назад #

Продолжу решение выше с момента:

2p=p2+qn,2q=q2+pm,где2

Без ог. общности v_2(p+1)\ge v_2(q+1). Заметим, что 2^p=(p^2-1)+(q^n+1). Отсюда видно, что 2^p>p^2-1\implies p>v_2(p^2-1).

Поскольку 2\nmid n, то

q^n+1=(q+1)(q^{n-1}-q^{n-2}+\ldots-q+1).

Очевидно, что число в правой скобке нечетное, поэтому v_2(q^n+1)=v_2(q+1). Тогда

v_2(2^p)=p>v_2(p^2-1)=v_2(p+1)+v_2(p-1)\ge v_2(q+1)+1>v_2(q+1)=v_2(q^n+1)

\implies v_2(2^p)>v_2(p^2-1)>v_2(q^n+1),

откуда получаем противоречие, так как

v_2(2^p)=v_2\bigg( (p^2-1)+(q^n+1) \bigg)=v_2(q^n+1)<v_2(2^p).

  7
2 года 3 месяца назад #

ясно что если какое то из них равно 2 то ответа нет тогда давайте докажем при p,q\geq3

лемма x^y-y^x \equiv \ne 0 \pmod {x,y} где x,y взаимно простые ,натуральные ,>1 Доказательство x^y\equiv 0 \pmod{x} , y^x \equiv n \pmod{x}\rightarrow что и требовалось доказать и аналогично с y

Используя выше указанную лемму находим что 2^p-p^2\equiv n \pmod{p}откуда понимаем что 2^q-q^2\equiv o \pmod{p} и аналогично с p ,2^q-q^2=p^m,2^p-p^2=q^n,

лемма 2^q-q^2=l^o не имеет решений при q,l взаимнопросты и q простые при q\geq5 o\geq 2 если мы докажем что это так то мы докаже что и говорится в задаче

заметим что справа все числа делится на l и оно обязательно нечетное заметим что 0 четное тогда понимаем что 2^q-q^2\equiv 7 \pmod{8} \ne l^0 \equiv 1 \pmod{8} что означает мы доказали задачу . если я где то с выводами ошибаюст напишите снизу

  5
2 года 3 месяца назад #

Откуда вы нашли эти леммы если не секрет

  6
2 года 3 месяца назад #

Секрет