Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2017 жыл

$f$ және $g$ функциялары $[-100;100]$ аралығындағы барлық бүтін сандарында анықталған және бүтін мәндерді қабылдайды. Қандай да бір бүтін $k$ үшін, $f\left( x \right)-g\left( y \right)=k$ теңдеуінің шешім саны тақ екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Кол-во чисел вида $f(x)-g(y)$ равно $201^2.$ Если любое целое число $k$ встречается среди этих чисел четное кол-во раз, то число $201^2$ должно быть четным, противоречие. Значит сущ. $k$, что число решений уравнения $f(x)-g(y)$ нечётно.