Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2017 год

Существует ли такой квадратный трехчлен $f(x)$, что $f(1/2017)=1/2018$ и $f(1/2018)=1/2017$ и два его коэффициента целые? ( А. Храбров )

Комментарий/решение

$$f\left(\frac{1}{2017}\right)=\frac{1}{2018} \Leftrightarrow f(x)=a\left(x-\frac{1}{2017}\right)^2+\frac{1}{2018}$$

$$f\left(\frac{1}{2018}\right)=\frac{1}{2017}=a\left(\frac{1}{2018}-\frac{1}{2017}\right)^2+\frac{1}{2018}\Rightarrow a=2017\cdot 2018$$

$$f(x)=2017\cdot 2018\left(x-\frac{1}{2017}\right)^2+\frac{1}{2018}=2017\cdot 2018x^2-2\cdot2018x+\frac{2018}{2017}+\frac{1}{2018}$$

$$a=2017\cdot 2018 \in Z, \quad b=4036 \in Z$$