20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров г. Варна, Болгария, 2017 год

Остроугольный треугольник $ABC$ $(AB \neq BC)$ вписан в окружность $\Gamma$, центром которой является точка $O$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$, а точка $D$ лежит на $\Gamma$ так, что $AD \perp BC.$ Рассмотрим точки $T$ и $Q$, лежащие по одну сторону от прямой $BC$, такие, что $BDCT$ — параллелограмм и $\angle BQM=\angle BCA,$ $\angle CQM=\angle CBA.$ Пусть прямая $AO$ пересекает $\Gamma$ в точке $E$ $(E \neq A)$, а описанная окружность треугольника $ETQ$ пересекает $\Gamma$ в точке $X \neq E.$ Докажите, что точки $A$, $M$ и $X$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

Пусь $AM$ пересекает Г в точке $X_1$ докажем что $X_1QTE$ равнобокая трапеция. Заметим что $\angle BQM=\angle ACB=\angle AX_1B=\angle BX_1M$ аналогично $\angle CQM=\angle CX_1M$ . Так как $BC$ общая сторона а $QM$ и $X_1M$ медианы которые делят равные углы $\angle BQC=\angle BX_1C$ в равном соотношении. Отсюда легко увидеть что $\triangle BQC=\triangle BX_1C$ значит $Q$ и $X_1$ симметричны относительно $BC$. Заметим что $\triangle BTC=\triangle CDB =\triangle BEC$ значит $T$ и $E$ симметричны относительно $BC$ значит $QTEX_1$ равнобокая трапеция значит точки $Q,T,E,X_1$ лежат на одной окружности значит $X_1=X$