Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы, Варна, Болгария, 2017 жыл
Центрі O нүктесі болатын Γ шеңбердің ішіне сүйірбұрышты ABC(AB≠BC) үшбұрышы сызылған. AD⊥BC болатындай, Γ шеңберінің бойында D нүктесі табылсын, ал M нүктесі BC қабырғасының ортасы болсын. BDCT параллелограмм болатындай және ∠BQM=∠BCA, ∠CQM=∠CBA болатындай, BC қабырғасының бір жағында жататын T және Q нүктелерін қарастырайық. AO түзуі Γ шеңберін E(E≠A) нүктесінде қисын, ал ETQ шеңберіне сырттай салынған шеңбер Γ шеңберін X≠E нүктесінде қисын. A, M және X нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусь AM пересекает Г в точке X1 докажем что X1QTE равнобокая трапеция. Заметим что ∠BQM=∠ACB=∠AX1B=∠BX1M аналогично ∠CQM=∠CX1M . Так как BC общая сторона а QM и X1M медианы которые делят равные углы ∠BQC=∠BX1C в равном соотношении. Отсюда легко увидеть что △BQC=△BX1C значит Q и X1 симметричны относительно BC. Заметим что △BTC=△CDB=△BEC значит T и E симметричны относительно BC значит QTEX1 равнобокая трапеция значит точки Q,T,E,X1 лежат на одной окружности значит X1=X
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.