Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы, Варна, Болгария, 2017 жыл


Центрі O нүктесі болатын Γ шеңбердің ішіне сүйірбұрышты ABC(ABBC) үшбұрышы сызылған. ADBC болатындай, Γ шеңберінің бойында D нүктесі табылсын, ал M нүктесі BC қабырғасының ортасы болсын. BDCT параллелограмм болатындай және BQM=BCA, CQM=CBA болатындай, BC қабырғасының бір жағында жататын T және Q нүктелерін қарастырайық. AO түзуі Γ шеңберін E(EA) нүктесінде қисын, ал ETQ шеңберіне сырттай салынған шеңбер Γ шеңберін XE нүктесінде қисын. A, M және X нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
2 года 11 месяца назад #

Пусь AM пересекает Г в точке X1 докажем что X1QTE равнобокая трапеция. Заметим что BQM=ACB=AX1B=BX1M аналогично CQM=CX1M . Так как BC общая сторона а QM и X1M медианы которые делят равные углы BQC=BX1C в равном соотношении. Отсюда легко увидеть что BQC=BX1C значит Q и X1 симметричны относительно BC. Заметим что BTC=CDB=BEC значит T и E симметричны относительно BC значит QTEX1 равнобокая трапеция значит точки Q,T,E,X1 лежат на одной окружности значит X1=X