Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2017 год

На доске написан квадратный трехчлен ${{x}^{2}}+kx+m$. Сколько существует пар $\left( k,m \right)$ таких, что $k < 2017$, $m < 2017$ и данный трехчлен является квадратом многочлена с целыми коэффициентами?

Комментарий/решение

$$x^2+kx+m=(x+a)^2\Rightarrow kx+m=2ax+a^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2a=k\\ a^2=m \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow m=\frac{k^2}{4}, \forall m,k \in \mathbb{Z_{2017}}= \left\{1,2,3,...2017\right\}$$

$$k=2\sqrt{m}\Rightarrow m =1936=44^2 <2017<45^2$$

$\mathbb{O}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{T}:$ $44$