Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2017 год

Ученик записал на доске некоторое трёхзначное число, все цифры которого различны. Затем он записал другое трёхзначное число, которое получается из ранее записанного некоторой перестановкой цифр, причем ни одна цифра не осталась на своём месте. Сумма двух этих чисел оказалась равна 1712. Найдите цифры, из которых состоят эти два числа.

Комментарий/решение

$$\overline {abc}+ \overline {bca}=1712$$

$$ a,b <999\Rightarrow a\ne 1, 2,3,4,5,6\Rightarrow a=7, 8, 9$$

$$1) a=8 \Rightarrow \overline {8bc}+ \overline {bc8}=1712\Rightarrow c= 4 \Rightarrow 110b=860\Rightarrow b \notin \mathbb{ Z}$$

$$ 2) a=9 \Rightarrow \overline{9bc}+ \overline {bc9}=1712\Rightarrow c=3 \Rightarrow b =7 \Rightarrow 973+739=1712$$

$$ 3) a=7 \Rightarrow \overline{7bc}+ \overline {bc7}=1712\Rightarrow c=5\Rightarrow 110b =950\Rightarrow 973+739=1712$$

$$\overline {abc}+ \overline {cab}=1712$$

$$1) a=8 \Rightarrow \overline {8bc}+ \overline {c8b}=1712\Rightarrow 11b+101c=832 (с>7) \Rightarrow b,c \notin \mathbb{ Z}$$

$$2) a=9 \Rightarrow \overline {9bc}+ \overline {c9b}=1712\Rightarrow 11b+101c=722 (c>6) \Rightarrow b,c \notin \mathbb{ Z}$$

$$ 3) a=7 \Rightarrow \overline {7bc}+ \overline {c7b}=1712\Rightarrow 11b+101c= 942 \Rightarrow b=3, с=9$$

$\mathbb{O}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{T}:$ $973+739=1712$