Математикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. По малой теореме Ферма {{a}^{p-1}}\equiv 1 \pmod p, следовательно {{a}^{\left( p-1 \right)!}}\equiv 1\pmod p. Пусть \left( p-1 \right)!=q_1^{{\alpha _1}}q_2^{{\alpha _2}} \ldots q_k^{{\alpha _k}} — каноническое разложение числа {(p-1)!}. Так как p-1\ge {{q}_{1}}-1 и (q_1^{\alpha _1},{{q}_{1}}-1)=1, то \left( p-1 \right)!\vdots {{q}_{1}}^{{{\alpha }_{1}}-1}\left( {{q}_{1}}-1 \right)=\varphi \left( {{q}_{1}}^{{{\alpha }_{1}}} \right).
По теореме Эйлера a^{\varphi (q_1^{\alpha_1})} \equiv 1 \pmod { q_1^{\alpha_1}}, следовательно {{a}^{\left( p-1 \right)!}}\equiv 1 \pmod {q_1^{\alpha_1}} . Аналогично для каждого i=2,3,\ldots ,k получаем, что {{a}^{\left( p-1 \right)!}}\equiv 1 \pmod{ q_i^{\alpha_i}}. Значит, {{a}^{\left( p-1 \right)!}}-1\vdots p \cdot q_1^{{\alpha _1}}q_2^{{\alpha _2}} \ldots q_k^{{\alpha _k}}=p!, что и требовалось доказать.
Факт: пусть n=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k} , p \in \mathbb{P}, (a,p)=1, и \lambda (n)=[ \phi (p_1^{\alpha_1}), \phi (p_2^{\alpha_2}), \phi (p_k^{\alpha_k})]. Тогда a^{\lambda (n)} \equiv 1 \mod n (1)
Из факта (1) выходит, что достаточно доказать \lambda (p!) \mid (p-1)! Для этого докажем, что V_q(\lambda (p!)) \le V_q((p-1)!), \forall q \in \mathbb{P}.Пусть p! =p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k} - каноническое разложение числа p!. Тогда V_q( \lambda (p!)) = max[ V_q( \phi (p_1^{ \alpha_1})), V_q(\phi (p_2^{\alpha_2})), \dots V_q(\phi (p_k^{\alpha_k})] = V_q(\phi (p_j^{\alpha_j}))Но \phi (p_j^{\alpha_j}) = (p_j-1)(p_j^{\alpha_j-1}) и очевидно p_j^{\alpha_j-1}(p_j-1) \mid (p-1)! \rightarrow V_q(\lambda (p!)) \le V_q((p-1)!), ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.