1-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2016 г.

В треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Известно, что биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ отсекает от угла $BCH$ равнобедренный треугольник с вершиной $C$. Докажите, что биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ также отсекает от угла $ACH$ равнобедренный треугольник с вершиной $C$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Известно, что в любом треугольнике сумма внутренних углов равна $180{}^\circ$, и сумма двух внутренних углов равна внешнему углу третьего. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает отрезки $CH$ и $CB$ в точках $K$ и $L$, а биссектриса угла $B$ отрезки $CH$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Обозначим $\angle A=2\alpha$ и $\angle B=2\beta$. Тогда из треугольника $AKH$ имеем $\angle AKH=\angle CKL=90{}^\circ -\alpha$, а из треугольника $ALB$ $\angle CLK=\alpha +2\beta.$ Из того, что треугольник $CKL$ равнобедренный, следует равенство $90{}^\circ -\alpha =\alpha +2\beta$, что то же самое $2\alpha +2\beta =90{}^\circ$. Условие равнобедренности треугольника $CNM$ также равносильно равенству $2\alpha +2\beta =90{}^\circ$, что завершает доказательство.