Шалтай Смағұлов атындағы 1-ші олимпиада, 7 сынып, 2 тур, 2016 ж.

$ABC$ үшбұрышында $CH$ биіктігі жүргізілген. Осы үшбұрыштың $A$ бұрышынан жүргізілген биссектриса $BCH$ бұрышынан төбесі $C$ болатын теңбүйірлі үшбұрышты кесетіні белгілі. Олай болса, $ABC$ үшбұрышының $B$ төбесінен жүргізілген биссектриса $ACH$ бұрышынан да төбесі $C$ болатын теңбүйірлі үшбұрышты кесетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Известно, что в любом треугольнике сумма внутренних углов равна $180{}^\circ$, и сумма двух внутренних углов равна внешнему углу третьего. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает отрезки $CH$ и $CB$ в точках $K$ и $L$, а биссектриса угла $B$ отрезки $CH$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Обозначим $\angle A=2\alpha$ и $\angle B=2\beta$. Тогда из треугольника $AKH$ имеем $\angle AKH=\angle CKL=90{}^\circ -\alpha$, а из треугольника $ALB$ $\angle CLK=\alpha +2\beta.$ Из того, что треугольник $CKL$ равнобедренный, следует равенство $90{}^\circ -\alpha =\alpha +2\beta$, что то же самое $2\alpha +2\beta =90{}^\circ$. Условие равнобедренности треугольника $CNM$ также равносильно равенству $2\alpha +2\beta =90{}^\circ$, что завершает доказательство.