1-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2016 г.

Задача №1. Гани выбрал целое нечетное число между 1 и 99, причем оно не больше 90, не меньше 30, не является квадратом натурального числа, не является простым числом, не делится на 3, и его последняя цифра не равна 5. Какое число мог выбрать Гани (Укажите все возможные варианты, ответ обоснуйте)?
комментарий/решение(15)

Задача №2. Куб состоит из 27 одинаковых кубиков, на ребрах которого отмечены точки

$A,B,C,D,{{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}$ (см. рис. ниже). Четыре жука, имеющие одинаковые скорости, участвуют в необычном марафоне. У каждого есть свой старт и финиш: у первого это

$A$ и

${{A}_{1}}$ , у второго –

$B$ и

${{B}_{1}}$ , у третьего –

$C$ и

${{C}_{1}}$ и, наконец, у четвертого –

$D$ и

${{D}_{1}}$ . При этом жуки могут перемещаться по поверхности куба по наикратчайшему пути. Если все жуки стартуют одновременно, то какой жук финиширует первым?

комментарий/решение(1)

Задача №3. В треугольнике

$ABC$ проведена высота

$CH$ . Известно, что биссектриса угла

$A$ треугольника

$ABC$ отсекает от угла

$BCH$ равнобедренный треугольник с вершиной

$C$ . Докажите, что биссектриса угла

$B$ треугольника

$ABC$ также отсекает от угла

$ACH$ равнобедренный треугольник с вершиной

$C$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. У 10 девочек было по 10 конфет. Каждая девочка подарила несколько конфет другим (конфеты полученные в подарок, девочки оставляют себе). В результате у всех девочек оказалось разное количество конфет. Докажите, что какая-то из девочек подарила конфет не меньше, чем у нее их оказалось в конце.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пятизначное число

$A$ записывается только двойками и тройками, а шестизначное число

$B$ – только четверками и тройками. Али перемножил числа

$A$ и

$B$ , получив в результате число, записываемое только двойками. Не ошибся ли он?
комментарий/решение(4)