Шалтай Смағұлов атындағы 1-ші олимпиада, 7 сынып, 2 тур, 2016 ж.

Есеп №1. Ғани 1 мен 99 арасында жатқан тақ сан таңдап алды. Ол таңдаған сан 90-нан үлкен емес және 30-дан кіші емес, натурал санның квадраты емес, жай сан емес, 3-ке бөлінбейді және оның соңғы цифры 5-ке тең емес екені белгілі. Ғани қандай сан таңдап алған (Барлық мүмкіндіктерді тауып, тапқан жауапты негіздеуді ұмытпаңыздар)?
комментарий/решение(15)

Есеп №2. Үлкен куб барлығы бірдей 27 кіші кубтардан тұрады, ал оның қабырғаларында $A,B,C,D,{{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}$ нүктелері белгіленген (төмендегі суретті қара). Қозғалу жылдамдықтары бірдей болатын төрт қоңыз ерекше марафонға қатысты. Әр қоңыздың өз сөресі мен мәресі бар: біріншісінде ол $A$ және ${{A}_{1}}$, екіншісінде – $B$ және ${{B}_{1}}$, үшіншісінде – $C$ және ${{C}_{1}}$ және төртіншісінде – $D$ және ${{D}_{1}}$. Сонымен қатар қоңыздар куб бетімен ең қысқа жолмен жүре алады. Егер қоңыздар қозғалуды бір уақытта бастаса, онда қай қоңыз өз мәресіне бірінші келеді?

комментарий/решение(1)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $CH$ биіктігі жүргізілген. Осы үшбұрыштың $A$ бұрышынан жүргізілген биссектриса $BCH$ бұрышынан төбесі $C$ болатын теңбүйірлі үшбұрышты кесетіні белгілі. Олай болса, $ABC$ үшбұрышының $B$ төбесінен жүргізілген биссектриса $ACH$ бұрышынан да төбесі $C$ болатын теңбүйірлі үшбұрышты кесетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. 10 қызда 10 конфеттен болған. Әр қыз басқа қыздарға өзінің бірнеше конфетін сыйлады (ал оған сыйға берген конфетті өзіне қалдырған). Соңында барлық қыздардағы конфет саны әртүрлі болып шыққан. Қандай да бір қызда ол сыйға берген конфет саны, сол қызда ақырында қалған конфет санынан кем емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Бес таңбалы $A$ саны тек «2» және «3» цифралары арқылы жазылады. Ал алты таңбалы $B$ саны тек «3» және «4» цифралары арқылы жазылады. Әли $A$ мен $B$ сандарын көбейтіп, тек «2» цифраларынан тұратын сан алдым деді. Әли қателесіп тұрған жоқ па?
комментарий/решение(4)