Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2016 год

Последовательность ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ такова, что ${{x}_{n+2}}={{x}_{n}}-\dfrac{1}{{{x}_{n+1}}}$, ${{x}_{1}}=20$, ${{x}_{2}}=13$. Существует ли такой номер $N$, что ${{x}_{N}}=0$?

Комментарий/решение

Перепишем рекуррентное соотношение в следующем виде:

$${x}_{n+2}\cdot {x}_{n+1}-{x}_{n+1}\cdot {x}_{n}=-1$$

То есть, если сделать замену:

$${x}_{n+1}\cdot {x}_{n}={y}_{n}$$

Последовательность ${y}_{n}$ будет арифметической прогрессией с разностью $d=-1$ и $y_1=x_1\cdot x_2=260$.

Найдем теперь ${y}_{261}$ :

$${y}_{261}=y_1+260d=260-260=0$$

То есть:

$${y}_{261}={x}_{262}\cdot {x}_{261}=0$$

откуда ${x}_{262}=0$.