Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2016 жыл
xn+2=xn−1xn+1, x1=20, x2=13 болатындай x1,x2,…,xn сандар тізбегі берілген. xN=0 болатындай натурал N саны табылады ма?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Перепишем рекуррентное соотношение в следующем виде:
xn+2⋅xn+1−xn+1⋅xn=−1
То есть, если сделать замену:
xn+1⋅xn=yn
Последовательность yn будет арифметической прогрессией с разностью d=−1 и y1=x1⋅x2=260.
Найдем теперь y261 :
y261=y1+260d=260−260=0
То есть:
y261=x262⋅x261=0
откуда x262=0.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.