Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2016 год

Последовательность $(a_n)$ задана условиями $a_1=0$, ${a_{n + 1}} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}}}{n} + 1.$ Докажите, что $a_{2016}>{1\over 2}+a_{1000}$. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

$$ a_{n+1}=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}+1\Rightarrow S_n=a_1+a_2+...+a_n=n(a_{n+1}-1)$$

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}=(n+1)(a_{n+2}-1)-n(a_{n+1}-1)=n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)+a_{n+2}-1\Rightarrow$$

$$ \Rightarrow n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)+a_{n+2}-a_{n+1}=1 \Rightarrow a_{n+2} =a_{n+1}+\frac{1}{n+1}$$

$$a_{2016}=a_{2015}+\frac{1}{2015}=a_{2014}+\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}=....=a_{1000}+\frac{1}{1000}+...+\frac{1}{2015}>\frac{1}{2}+a_{1000}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{1000}+...+\frac{1}{2015}>\frac{1}{2}$$

$$ \frac{1}{1000}+...+\frac{1}{2015}>\frac{1}{2015}+...+\frac{1}{2015}=\frac{1016}{2015}>\frac{1}{2}$$

Поймем что $a_{1000}=\dfrac{a_1+a_2+...+a_{999}}{999}+1 \Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_{999}=999a_{1000}-999$

$\dfrac{a_1+a_2+...+a_{999}+a_{1000}}{1000}+1=\dfrac{999a_{1000}-999+a_{1000}}{1000}+1=\dfrac{1000a_{1000}-999}{1000}+1=a_{1000}+\dfrac{1}{1000}=a_{1001}>a_{1000}$

Дальше по индукции $a_x>a_{1000}$ при $x>1000$

Значит

$a_{1001}>a_{1000} \\ a_{1002}>a_{1000} \\ . \\ . \\ . \\ a_{2015}>a_{1000}$

Суммируем эти неравенства и получим $a_{1001}+a_{1002}+...+a_{2015}>1015a_{1000}$ тогда

$a_{2016}=\dfrac{a_1+a_2+...+a_{2015}}{2015}+1=\dfrac{1000a_{1000}-999+a_{1001}+...+a_{2015}}{2015}+1>\dfrac{2015a_{1000}-999}{2015}+1=a_{1000}-\dfrac{999}{2015}+1>a_{1000}+\dfrac{1}{2}$ ЧТД