Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2016 жыл


(an) тізбегі, a1=0 және an+1=a1+a2++ann+1 шарттары бойынша берілсін. a2016>12+a1000 екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
6 года 10 месяца назад #

an+1=a1+a2+...+ann+1Sn=a1+a2+...+an=n(an+11)

Sn+1Sn=an+1=(n+1)(an+21)n(an+11)=n(an+2an+1)+an+21

n(an+2an+1)+an+2an+1=1an+2=an+1+1n+1

a2016=a2015+12015=a2014+12014+12015=....=a1000+11000+...+12015>12+a1000

11000+...+12015>12

11000+...+12015>12015+...+12015=10162015>12

  0
9 месяца 15 дней назад #

Поймем что a1000=a1+a2+...+a999999+1a1+a2+...+a999=999a1000999

a1+a2+...+a999+a10001000+1=999a1000999+a10001000+1=1000a10009991000+1=a1000+11000=a1001>a1000

Дальше по индукции ax>a1000 при x>1000

Значит

a1001>a1000a1002>a1000...a2015>a1000

Суммируем эти неравенства и получим a1001+a1002+...+a2015>1015a1000 тогда

a2016=a1+a2+...+a20152015+1=1000a1000999+a1001+...+a20152015+1>2015a10009992015+1=a10009992015+1>a1000+12 ЧТД