Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2016 жыл
(an) тізбегі, a1=0 және an+1=a1+a2+…+ann+1 шарттары бойынша берілсін. a2016>12+a1000 екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
an+1=a1+a2+...+ann+1⇒Sn=a1+a2+...+an=n(an+1−1)
Sn+1−Sn=an+1=(n+1)(an+2−1)−n(an+1−1)=n(an+2−an+1)+an+2−1⇒
⇒n(an+2−an+1)+an+2−an+1=1⇒an+2=an+1+1n+1
a2016=a2015+12015=a2014+12014+12015=....=a1000+11000+...+12015>12+a1000
⇒11000+...+12015>12
11000+...+12015>12015+...+12015=10162015>12
Поймем что a1000=a1+a2+...+a999999+1⇔a1+a2+...+a999=999a1000−999
a1+a2+...+a999+a10001000+1=999a1000−999+a10001000+1=1000a1000−9991000+1=a1000+11000=a1001>a1000
Дальше по индукции ax>a1000 при x>1000
Значит
a1001>a1000a1002>a1000...a2015>a1000
Суммируем эти неравенства и получим a1001+a1002+...+a2015>1015a1000 тогда
a2016=a1+a2+...+a20152015+1=1000a1000−999+a1001+...+a20152015+1>2015a1000−9992015+1=a1000−9992015+1>a1000+12 ЧТД
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.