33-я Балканская математическая олимпиадаАлбания, Тирана, 2016 год

Найдите все такие инъективные функции $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, что для любого действительного числа $x$ и натурального $n$ справедливо неравенство $$\left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right| < 2016.$$
Замечание Функция $f$ называется инъективной, если $f(x_1)=f(x_2)$ тогда, и только тогда, когда $x_1=x_2$.

Комментарий/решение

$$-2016 \leq \sum \limits_{i=1}^{n-1}{i \left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)} + n \left(f(x+n+1)-f(f(x+n))\right)<2016$$

$$|\sum \limits_{i=1}^{n-1}{i \left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)}|<2016 \Rightarrow -4032<n \left(f(x+n+1)-f(f(x+n))\right)<4032\Rightarrow$$

$$\Rightarrow |n \left(f(x+n+1)-f(f(x+n))\right)|<4032 \Rightarrow |\left(f(x+n+1)-f(f(x+n))\right)|<\frac{4032}{n}$$

$$\mathbb{X}_n=\frac{4032}{n}\Rightarrow \inf \mathbb{X}_n =0\Rightarrow f(x+n+1)=f(f(x+n))\Rightarrow f(x+n)=x+n+1$$

$$x+n=t \Rightarrow f(t)=t+1$$

$$f(x)=x+1, x\in \mathbb{R}$$

В конце стоит написать так: Мы нашли, что $\left|f\left(x+n+1\right)-f\left(f\left(x+n\right)\right)\right|<\dfrac{4032}{n}.$ Подставим $x\to x-n:$

$$\left|f\left(x+1\right)-f\left(f\left(x\right)\right)\right|<\dfrac{4032}{n},\forall n\in\mathbf N.$$

Рассмотрев достаточно большие $n$ следует, что $\left|f\left(x+1\right)-f\left(f\left(x\right)\right)\right|=0\implies f(x+1)=f(f(x),$ откуда из инъективности $\boxed{x+1=f(x)}$