Математикадан 33-ші Балкан олимпиадасы, Тирана, Албания, 2016 жыл
Кез келген x нақты саны және n натурал саны үшін |∑ni=1i(f(x+i+1)−f(f(x+i)))|<2016 теңсіздігі орындалатындай барлық f:R→R инъективті функцияларын табыңыздар.
Ескерту; f функциясын инъективті деп атаймыз, егер f(x1)=f(x2) тек және тек сонда ғана x1=x2 болғанда.
посмотреть в олимпиаде
Ескерту; f функциясын инъективті деп атаймыз, егер f(x1)=f(x2) тек және тек сонда ғана x1=x2 болғанда.
Комментарий/решение:
−2016≤n−1∑i=1i(f(x+i+1)−f(f(x+i)))+n(f(x+n+1)−f(f(x+n)))<2016
|n−1∑i=1i(f(x+i+1)−f(f(x+i)))|<2016⇒−4032<n(f(x+n+1)−f(f(x+n)))<4032⇒
⇒|n(f(x+n+1)−f(f(x+n)))|<4032⇒|(f(x+n+1)−f(f(x+n)))|<4032n
Xn=4032n⇒inf
x+n=t \Rightarrow f(t)=t+1
f(x)=x+1, x\in \mathbb{R}
В конце стоит написать так: Мы нашли, что \left|f\left(x+n+1\right)-f\left(f\left(x+n\right)\right)\right|<\dfrac{4032}{n}. Подставим x\to x-n:
\left|f\left(x+1\right)-f\left(f\left(x\right)\right)\right|<\dfrac{4032}{n},\forall n\in\mathbf N.
Рассмотрев достаточно большие n следует, что \left|f\left(x+1\right)-f\left(f\left(x\right)\right)\right|=0\implies f(x+1)=f(f(x), откуда из инъективности \boxed{x+1=f(x)}
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.