Processing math: 52%

Математикадан 33-ші Балкан олимпиадасы, Тирана, Албания, 2016 жыл


Кез келген x нақты саны және n натурал саны үшін |ni=1i(f(x+i+1)f(f(x+i)))|<2016 теңсіздігі орындалатындай барлық f:RR инъективті функцияларын табыңыздар.
Ескерту; f функциясын инъективті деп атаймыз, егер f(x1)=f(x2) тек және тек сонда ғана x1=x2 болғанда.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
7 года 11 месяца назад #

2016n1i=1i(f(x+i+1)f(f(x+i)))+n(f(x+n+1)f(f(x+n)))<2016

|n1i=1i(f(x+i+1)f(f(x+i)))|<20164032<n(f(x+n+1)f(f(x+n)))<4032

|n(f(x+n+1)f(f(x+n)))|<4032|(f(x+n+1)f(f(x+n)))|<4032n

Xn=4032ninf

x+n=t \Rightarrow f(t)=t+1

f(x)=x+1, x\in \mathbb{R}

пред. Правка 2   0
4 года назад #

В конце стоит написать так: Мы нашли, что \left|f\left(x+n+1\right)-f\left(f\left(x+n\right)\right)\right|<\dfrac{4032}{n}. Подставим x\to x-n:

\left|f\left(x+1\right)-f\left(f\left(x\right)\right)\right|<\dfrac{4032}{n},\forall n\in\mathbf N.

Рассмотрев достаточно большие n следует, что \left|f\left(x+1\right)-f\left(f\left(x\right)\right)\right|=0\implies f(x+1)=f(f(x), откуда из инъективности \boxed{x+1=f(x)}