Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып


Натурал N санының k натурал бөлгіші бар. Сол санның барлық натурал бөлгіштерін, кез келген 1i<k үшін, di/di+1 немесе di+1/di саны жай болатындай, d1, , dk тізбегіне тізіп шығуға болатынын дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Докажем утверждение индукцией по количеству простых делителей числа. Если число имеет только один простой делитель p1, то есть оно вида pk11, то можно выписать последовательность 1, p1, , pk11.
Предположим утверждение верно для числа, которое имеет n1 простых делителей. Докажем для числа, имеющего n+1 простых делителей следующим образом. Пусть N=pln+1N (pn+1 это n+1-ый простой делитель), где N имеет n простых делителей и d1, , dm искомая последовательность для N. Тогда для всех делителей числа N, новую последовательность можно построить так: d1, , dm;pdm, , pd1;p2d1, , p2dm; . Легко видеть, что эта последовательность содержит все делители N по одному разу и что она удовлетворяет требуемому условию.