Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 11 класс

Пусть $a$, $b$ и $c$ — неотрицательные числа. Докажите, что $ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a+b+c)}.$

Комментарий/решение

$ab+bc+ca \geqslant \sqrt {3abc(a+b+c)}$

$(ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)$

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2a^2bc+2ab^2c+2abc^2 \geqslant 3a^2bc+3ab^2c+3abc^2$

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geqslant a^2bc+ab^2c+abc^2$

$2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 \geqslant 2a^2bc+2ab^2c+2abc^2$

$(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ca-ab)^2 \geqslant 0$