Областная олимпиада по математике, 2016 год, 11 класс

Пусть $R$ — радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности, а $S$ — его площадь. Докажите, что если $S \geq R^2$, то все углы треугольника $ABC$ больше $30^\circ$ и не превосходят $90^\circ$.

Комментарий/решение

Решение. Пусть $∠A≤30°=>a=2R \sin⁡{∠A}≤R=>\frac 1 2 Rh≥\frac 1 2 ah=S≥R^2=>h≥2R$, что невозможно.

Предположим, без ограничения общности, что $∠A$ – тупой, тогда центр описанной окружности лежит вне треугольника $ABC, a<B'C'=2R,AH<AD<R.\ S=\frac 1 2 a\cdot AH<R^2$. Противоречие.