Processing math: 70%

Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып


ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы — R, ал осы үшбұрыштың ауданы — S болсын. Егер SR2 болса, онда ABC үшбұрышының бұрыштары 30-тан артық және 90-тан аспайтынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2 | Модератормен тексерілді
7 года 9 месяца назад #

Решение. Пусть ∠A≤30°=>a=2R \sin⁡{∠A}≤R=>\frac 1 2 Rh≥\frac 1 2 ah=S≥R^2=>h≥2R, что невозможно.

Предположим, без ограничения общности, что ∠A – тупой, тогда центр описанной окружности лежит вне треугольника ABC, a<B'C'=2R,AH<AD<R.\ S=\frac 1 2 a\cdot AH<R^2. Противоречие.