Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып
ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы — R, ал осы үшбұрыштың ауданы — S болсын. Егер S≥R2 болса, онда ABC үшбұрышының бұрыштары 30∘-тан артық және 90∘-тан аспайтынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение. Пусть ∠A≤30°=>a=2R \sin{∠A}≤R=>\frac 1 2 Rh≥\frac 1 2 ah=S≥R^2=>h≥2R, что невозможно.
Предположим, без ограничения общности, что ∠A – тупой, тогда центр описанной окружности лежит вне треугольника ABC, a<B'C'=2R,AH<AD<R.\ S=\frac 1 2 a\cdot AH<R^2. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.