Математикадан облыстық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы — $R$, ал осы үшбұрыштың ауданы — $S$ болсын. Егер $S\ge {{R}^{2}}$ болса, онда $ABC$ үшбұрышының бұрыштары $30{}^\circ $-тан артық және $90{}^\circ $-тан аспайтынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Решение. Пусть $∠A≤30°=>a=2R \sin⁡{∠A}≤R=>\frac 1 2 Rh≥\frac 1 2 ah=S≥R^2=>h≥2R$, что невозможно.

Предположим, без ограничения общности, что $∠A$ – тупой, тогда центр описанной окружности лежит вне треугольника $ABC, a<B'C'=2R,AH<AD<R.\ S=\frac 1 2 a\cdot AH<R^2$. Противоречие.