Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 11 класс

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $\angle DAC$ и $\angle DBC$ пересекаются в точке $T$. Известно, что $\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{TO}$. Найдите величины всех углов треугольника $ABT$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Все углы треугольника $ABT$ равны $60^\circ$.
Решение. Равенство $\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{TO}$ как раз удовлетворяет правилу параллелограмма. Получается, что $DOCT$ — параллелограмм и точка $T$ лежит снаружи параллелограмма. $\angle DTA = \angle TAC$. Но так как по условию $\angle TAC = \angle TAD$, то $DA=DT$. Аналогично, $BC=CT$. Но так как $AD=BC$, получим $DO=TC=BC=AD=DT=OC$. Как видим, половины диагоналей параллелограмма $ABCD$ равны, то есть $ABCD$ — прямоугольник, причем углы треугольников $DAC$ и $DBC$ равны $60^\circ$. Тогда $\angle TAB = \angle TAC+\angle CAB= 30^\circ+30^\circ=60^\circ$, и аналогично, $\angle TBA=60^\circ$.