Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып


ABCD параллелограммының диагональдары O нүктесінде қиылысады, ал DAC және DBC бұрыштарының биссектрисалары T нүктесінде қиылысады. TD+TC=TO екені белгілі. ABT үшбұрышының барлық бұрыштарын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Все углы треугольника ABT равны 60.
Решение. Равенство TD+TC=TO как раз удовлетворяет правилу параллелограмма. Получается, что DOCT — параллелограмм и точка T лежит снаружи параллелограмма. DTA=TAC. Но так как по условию TAC=TAD, то DA=DT. Аналогично, BC=CT. Но так как AD=BC, получим DO=TC=BC=AD=DT=OC. Как видим, половины диагоналей параллелограмма ABCD равны, то есть ABCD — прямоугольник, причем углы треугольников DAC и DBC равны 60. Тогда TAB=TAC+CAB=30+30=60, и аналогично, TBA=60.