Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 8 класс

В треугольнике $ABC$ угол $\angle A$ тупой и $AB=AC$. Точка $M$ такова, что $C$ — середина $AM$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AM$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$. Известно, что прямые $PM$ и $BC$ перпендикулярны. Докажите, что $APM$ — равносторонний треугольник.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Известно, что сумма двух внутренних углов треугольника равна внешнему углу третьего. Пусть $\angle CBA=\angle BCA=\angle MCD= \alpha$, где $D$ — точка пересечения прямых $BC$ и $PM$. Тогда $\angle CMD= 90^\circ -\alpha$, откуда $\angle APC = \angle MPC=\alpha$, так как прямая $PC$ лежит на серединном перпендикуляре отрезка $AM$. Тогда из треугольника $BPC$ найдем $\angle PCD = 2 \alpha$, то есть $\angle PCM = 3 \alpha = 90^\circ$, откуда $\alpha=30^\circ$. Получается, что в равнобедренном треугольнике $APM$ $\angle APM = 2 \alpha = 60^\circ$.