қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 8 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите наименьшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: все цифры в десятичной записи числа $9n$ равны $1$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Продавец в понедельник повысил цену на товар на $x\%$. Продажи упали и в среду он снизил цену на $y\%$, в результате чего она вернулась на прежний уровень. Найдите значение величины $\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В трапеции $ABCD$ длина основания $BC$ равна $10$, длина основания $AD$ равна $3$, $CD=7$ и $\angle ADC=140^\circ $. Найдите $\angle ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все двузначные натуральные числа, равные сумме произведения своих цифр и их суммы. Примечание: таким числом является, например, $19=1 \cdot 9+1+9$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В треугольнике $ABC$ угол $\angle A$ тупой и $AB=AC$. Точка $M$ такова, что $C$ — середина $AM$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AM$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$. Известно, что прямые $PM$ и $BC$ перпендикулярны. Докажите, что $APM$ — равносторонний треугольник.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. $A$ и $B$ играют в игру. Ход состоит в том, что соответствующий игрок называет натуральное число, меньшее $31$, которое не равно ни одному из названных ранее чисел и не имеет общих делителей больше $1$ ни с одним из названных ранее чисел. После этого ход переходит к другому игроку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает $A$. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)