Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите наименьшее натуральное

$n$ , обладающее следующим свойством: все цифры в десятичной записи числа

$9n$ равны

$1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Продавец в понедельник повысил цену на товар на

$x\%$ . Продажи упали и в среду он снизил цену на

$y\%$ , в результате чего она вернулась на прежний уровень. Найдите значение величины

$\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. В трапеции

$ABCD$ длина основания

$BC$ равна

$10$ , длина основания

$AD$ равна

$3$ ,

$CD=7$ и

$\angle ADC=140^\circ$ . Найдите

$\angle ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все двузначные натуральные числа, равные сумме произведения своих цифр и их суммы. Примечание: таким числом является, например,

$19=1 \cdot 9+1+9$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. В треугольнике

$ABC$ угол

$\angle A$ тупой и

$AB=AC$ . Точка

$M$ такова, что

$C$ — середина

$AM$ . Серединный перпендикуляр к отрезку

$AM$ пересекает прямую

$AB$ в точке

$P$ . Известно, что прямые

$PM$ и

$BC$ перпендикулярны. Докажите, что

$APM$ — равносторонний треугольник.
комментарий/решение(1)

Задача №6.

$A$ и

$B$ играют в игру. Ход состоит в том, что соответствующий игрок называет натуральное число, меньшее

$31$ , которое не равно ни одному из названных ранее чисел и не имеет общих делителей больше

$1$ ни с одним из названных ранее чисел. После этого ход переходит к другому игроку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает

$A$ . У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
комментарий/решение(1)