Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, I тур дистанционного этапа

Из клетчатого квадрата со стороной 2015 вырезали по клеточкам несколько квадратов со стороной 10. Докажите, что из оставшейся части большого квадрата можно вырезать:
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Докажем сразу более сильное утверждение б). Рассмотрим прямоугольник $10\times 10$, примыкающий своей короткой стороной к левой стороне квадрата $2015 \times 2015$. Если какая-то из его клеток попала в вырезанный квадрат $10 \times 10$, то туда же попала и самая правая его клетка. Значит, если самая правая клетка такого прямоугольника не вырезана, то не вырезана ни одна из его клеток. Осталось заметить, что число 2015 при делении на 10 дает остаток 5, и потому в десятом слева столбце квадрата $2015 \times 2015$ найдутся хотя бы пять не вырезанных клеток.