Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1.  Квадраты со сторонами 11, 9, 7 и 5 расположены примерно так, как на рисунке ниже. Оказалось, что площадь серых частей в два раза больше, чем площадь черных частей. Найдите площадь белых частей.

комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  В подводном царстве живут осьминоги, у которых может быть 6, 7 или 8 ног. Те, у которых по 7 ног, всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. При встрече четверых осьминогов Синий сказал: «у нас на всех в сумме 25 ног», Зеленый возразил: «нет, всего ног 26», Красный сказал, что в сумме ног 27, а Жёлтый — что 28. Сколько ног в реальности у каждого из осьминогов?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AC$, кроме того, $BC = 2AC/3$ и $\angle BMC= 2\angle ABM$. Найдите отношение $AM/AB$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Из клетчатого квадрата со стороной 2015 вырезали по клеточкам несколько квадратов со стороной 10. Докажите, что из оставшейся части большого квадрата можно вырезать:
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число $|16a-9b|$ — не простое.
комментарий/решение(1)

---