Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Қабырғалары 11, 9, 7 және 5 болатын квадраттар суреттегідей орналасқан. Сонда сұр түсті аудандардың қосындысы қара түсті аудандардың қосындысынан екі есе үлкен болып шыққан. Ақ түсті аудандардың қосындысын табыңыздар.

комментарий/решение(2)

Есеп №2. Су асты патшалығында тұратын сегізаяқтардың тек 6, 7 немесе 8 аяғы ғана бар. 7 аяғы бар сегізаяқтар әрқашан да өтірік айтады, қалғандары әрқашан шындықты айтады. Төрт сегізаяқтарды кездестірген кезде оның
Көгі айтты: «біздің барлығымыздың аяқтар саны 25-ке тең»,
Жасылы қарсы шығып: «жоқ, барлығы 26 аяқ» деді,
ал Қызылы «барлығы 27»,
ал Сарысы «28 аяқ» деді.
Әр сегізаяқта шынында қанша аяқтан бар?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AC$ қабырғасының ортасы, және

$BC=2AC/3$ ,

$\angle BMC= 2 \angle ABM$ екені белгілі.

$AM/AB$ қатынасын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Қабырғасы 2015 болатын тор квадраттан тор бойымен қабырғасы 10 болатын бірнеше квадрат қиып алды. Үлкен квадраттың қалған бөлігінен:
а) қабырғасы 1 және 10 болатын бір тіктөртбұрыш қиып алуға болатынын;
б) қабырғасы 1 және 10 болатын бес тіктөртбұрыш қиып алуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Екі натурал

$a$ және

$b$ сандарының қосындысы да, көбейтіндісі де натурал сандардың квадраттары екені белгілі.

$|16a-9b|$ саны жай сан емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)