Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Қабырғасы 2015 болатын тор квадраттан тор бойымен қабырғасы 10 болатын бірнеше квадрат қиып алды. Үлкен квадраттың қалған бөлігінен:
а) қабырғасы 1 және 10 болатын бір тіктөртбұрыш қиып алуға болатынын;
б) қабырғасы 1 және 10 болатын бес тіктөртбұрыш қиып алуға болатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Докажем сразу более сильное утверждение б). Рассмотрим прямоугольник $10\times 10$, примыкающий своей короткой стороной к левой стороне квадрата $2015 \times 2015$. Если какая-то из его клеток попала в вырезанный квадрат $10 \times 10$, то туда же попала и самая правая его клетка. Значит, если самая правая клетка такого прямоугольника не вырезана, то не вырезана ни одна из его клеток. Осталось заметить, что число 2015 при делении на 10 дает остаток 5, и потому в десятом слева столбце квадрата $2015 \times 2015$ найдутся хотя бы пять не вырезанных клеток.