Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, I тур дистанционного этапа


В треугольнике ABC точка M — середина AC, кроме того, BC=2AC/3 и BMC=2ABM. Найдите отношение AM/AB.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: AMAB=325.
Решение. Положим ABM=α. Тогда BMC=2α, BMA=1802, BAM=180ABMAMB=α=ABM, откуда BM=AM=MC. Получается, что медиана BM треугольника ABC равна половине стороны AC, откуда ABC=90.
Положим для удобства BC=4m. Тогда AC=6m, AM=3m, AB=36m216m2=2m5, и, деля AM на AB, получаем ответ.

  4
9 года 5 месяца назад #

Откуда угол MAB=2ABMABM=ABM=a , значит треугольники ΔABM;ΔBMC равнобедренные , получаем соотношения из площадей AC=x , x2cosa3=x2cosasina2, откуда sina=23 ; AMsina=ABsin2a,AMAB=12cosa=325