Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, I тур дистанционного этапа
В треугольнике ABC точка M — середина AC, кроме того, BC=2AC/3 и ∠BMC=2∠ABM. Найдите отношение AM/AB.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: AMAB=32√5.
Решение. Положим ∠ABM=α. Тогда ∠BMC=2α, ∠BMA=180∘−2∠, ∠BAM=180∘−∠ABM−∠AMB=α=∠ABM, откуда BM=AM=MC. Получается, что медиана BM треугольника ABC равна половине стороны AC, откуда ∠ABC=90∘.
Положим для удобства BC=4m. Тогда AC=6m, AM=3m, AB=√36m2−16m2=2m√5, и, деля AM на AB, получаем ответ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.