Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2015-2016 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

$ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы, және $BC=2AC/3$, $\angle BMC= 2 \angle ABM$ екені белгілі. $AM/AB$ қатынасын табыңыздар.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{2\sqrt{5}}$.
Решение. Положим $\angle ABM = \alpha$. Тогда $\angle BMC = 2\alpha$, $\angle BMA = 180^\circ-2\angle$, $\angle BAM = 180^\circ-\angle ABM- \angle AMB = \alpha = \angle ABM$, откуда $BM = AM = MC$. Получается, что медиана $BM$ треугольника $ABC$ равна половине стороны $AC$, откуда $\angle ABC = 90^\circ$.
Положим для удобства $BC = 4m$. Тогда $AC = 6m$, $AM = 3m$, $AB = \sqrt{36{{m}^{2}}-16{{m}^{2}}}=2m\sqrt{5}$, и, деля $AM$ на $AB$, получаем ответ.

Откуда угол $$\angle MAB = 2*\angle ABM-\angle ABM = \angle ABM=a$$ , значит треугольники $$\Delta ABM; \Delta BMC$$ равнобедренные , получаем соотношения из площадей $$AC=x$$ , $$\frac{x^2*cosa}{3} = \frac{x^2*cosa*sina}{2}$$ , откуда $$sina=\frac{2}{3}$$ ; $$\frac{AM}{sina}=\frac{AB}{sin2a} , \frac{AM}{AB} = \frac{1}{2cosa} = \frac{3}{2*\sqrt{5}}$$