Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2015 жыл

Бірінші оқушы $1$, $2$, $\ldots$, $2015$ сандарын шеңбер бойымен қойып шығып, өз дәптеріне көрші тұрған сандардың теріс емес айырмаларын жазып шықты. Екінші оқушы осы сандардан ең кішісін таңдап алу керек. Ол таңдап алған санның ең үлкен мәні неге тең болуы мүмкін? ( Ильясов С. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 1007.
Рассмотри число 1008 при расстановке по кругу. Модульные разности этого числа с двумя его соседями не превосходят 1007. Значит второй ученик ни при какой расстановке не мог получить число, большее 1007, т.к., как мы увидели, среди выписанных всегда есть число, не превосходящее 1007.
Покажем, что существует расстановка, при которой наименьшая из выписанных разностей будет равна 1007. Начинаем с числа 1008, далее ставим число на 1007 больше (т.е. 2015), потом на 1008 меньше (т.е. 1007), опять на 1007 больше (2014), на 1008 меньше (1006), и т.д. Когда дойдем до чисел 1009 и 1 – останавливаемся. Круг замкнется и 1 будет соседом для 1008. Как видно, все числа использованы, и все условия выполняются.