Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2015 жыл
Комментарий/решение:
Рассмотрим число 2a3b (a>0,b≥0):
2a3b→2a3b+2a−13b=2a−13b+1→...→3a+b→4⋅3a+b−1→2⋅3a+b→3a+b+1→...→3a+b+c,
откуда получается, что в какой-то момент a+b+c будет больше 2000. (A)
Если изначальное число 2a3bk (2,3∤, то раз k>3, получается, что все сводиться (!) к (A), так как 2^a3^bk\to 2^{a-1}3^{b+1}k. (B)
Если 2,3\nmid \alpha, то \alpha\to \alpha+\beta, где 2\nmid \alpha, \beta\Leftrightarrow \alpha+\beta=2k, что приводит к (B).
Отсюда следует требуемое.
Пусть \nu_p(x) это степень вхождения p на x
Введем функцию
f(n)=n+d там где d наибольший делитель n
(ну это шаг который нам дали в условии) Заметим, что если d наибольший делитель n, то \dfrac{n}{d}=p тоже делитель n, причем наименьший. Если вдруг p \notin \mathbb{P} то пусть a \mid p \ (1<a<p) то a \mid p \mid n \Rightarrow a \mid n но мы сказали, что p наименьший делитель. Противоречие. Значит p простой
Теперь поймем, что f(n)=n+d=n+\dfrac{n}{p}=\dfrac{n(p+1)}{p} \Rightarrow \\ f(n)=\dfrac{n(p+1)}{p} запомните этот факт, дальше оно будет использоваться без упоминания во всех 3 случаях
Теперь случай
1)p=2 \Rightarrow \nu _3(n)+1=\nu_3(f(n))
2)p=3 \Rightarrow p+1=4 значит \nu_3(n)-1=\nu_3(f(n)) но f(n)=\dfrac{4n}{3} получается наименьший делитель f(n) будет 2 а как мы помним с 1 случай, \nu_3(f(n))+1=\nu_3(f(f(n))) (там просто 2 была наименьшим для n, а тут для f(n))
f(f(n))=f(n)+ \dfrac{f(n)}{2} мы помним, что f(n) делится на 4 значит четный+четный=четный, значит f(f(n)) тоже четный т.е. наименьший делитель 2 тогда \nu_3(f(f(n)))+1=\nu_3(f(f(f(n))))
Тогда \nu_3(n)-1=\nu_3(f(n))=\nu_3(f(f(n)))-1=\nu_3(f(f(f(n))))-2 \Rightarrow \nu_3(n)+1=\nu_3(f(f(f(n))))
3)p>3 \Rightarrow p+1 четный, значит f(n) тоже четный, значит наименьший делитель 2, причем значит \nu_3(n)+1=\nu_3(f(n)) тогда мы поняли, что степень вхождения 3 растет в любом случае, значит когда нибудь достигнет 2000 ЧТД
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.