Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2014 год

Радиус окружности $\omega_A$ с центром в вершине $A$ треугольника $ABC$ равен радиусу вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Аналогично строятся окружности $\omega_B$ и $\omega_C$. Докажите, что если какие-то две из этих окружностей касаются, то касаются любые две из них. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Окружности $\omega_B$ и $\omega_C$ имеют радиусы $\dfrac{S}{p-b}$ и $\dfrac{S}{p-c}$ соответственно, а также пусть они касаются внешним образом на $BC$ в точке $G$.

Из условия следует, что $\dfrac{S}{p-b}+\dfrac{S}{p-c}=a$. Требуется доказать, что $|b-c|\stackrel{?}{=}|\dfrac{S}{p-b}-\dfrac{S}{p-c}|$. Последнее следует из соображений о том, что ГМТ центров окружностей, касающихся данных двух является гиперболой (или эллипсом в случае касания внутренним образом, то есть в таком случае пришлось бы решить задачу с сопряженными выражениями).

$$\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}=S\cdot \frac{2p-b-c}{(p-b)(p-c)}=S\cdot \frac{a}{(p-b)(p-c)}=a\Leftrightarrow S=(p-b)(p-c),$$

$$|\frac{S}{p-b}-\frac{S}{p-c}|=S\cdot|\frac{b-c}{(p-b)(p-c)}|=|b-c|,$$

что и требовалось показать.