Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2014 жыл
Центрі, ABC үшбұрышының A төбесінде орналасқан ωA шеңберінің радиусы, BC қабырғасымен жанасатын іштейсырт шербердің радиусына тең. Дәл осылай ωB және ωC шеңберлері салынады. Егер осы шеңберлердің кез-келген екеуі жанасса, әрбір екі шеңбер жанасатынын дәлелдеңіз.
(
Л. Емельянов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Окружности ωB и ωC имеют радиусы Sp−b и Sp−c соответственно, а также пусть они касаются внешним образом на BC в точке G.
Из условия следует, что Sp−b+Sp−c=a. Требуется доказать, что |b−c|?=|Sp−b−Sp−c|. Последнее следует из соображений о том, что ГМТ центров окружностей, касающихся данных двух является гиперболой (или эллипсом в случае касания внутренним образом, то есть в таком случае пришлось бы решить задачу с сопряженными выражениями).
Sp−b+Sp−c=S⋅2p−b−c(p−b)(p−c)=S⋅a(p−b)(p−c)=a⇔S=(p−b)(p−c),
|Sp−b−Sp−c|=S⋅|b−c(p−b)(p−c)|=|b−c|,
что и требовалось показать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.