Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2014 жыл


Центрі, ABC үшбұрышының A төбесінде орналасқан ωA шеңберінің радиусы, BC қабырғасымен жанасатын іштейсырт шербердің радиусына тең. Дәл осылай ωB және ωC шеңберлері салынады. Егер осы шеңберлердің кез-келген екеуі жанасса, әрбір екі шеңбер жанасатынын дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
10 месяца 28 дней назад #

Окружности ωB и ωC имеют радиусы Spb и Spc соответственно, а также пусть они касаются внешним образом на BC в точке G.

Из условия следует, что Spb+Spc=a. Требуется доказать, что |bc|?=|SpbSpc|. Последнее следует из соображений о том, что ГМТ центров окружностей, касающихся данных двух является гиперболой (или эллипсом в случае касания внутренним образом, то есть в таком случае пришлось бы решить задачу с сопряженными выражениями).

Spb+Spc=S2pbc(pb)(pc)=Sa(pb)(pc)=aS=(pb)(pc),

|SpbSpc|=S|bc(pb)(pc)|=|bc|,

что и требовалось показать.