Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2014 год

Для двух квадратных трёхчленов $P(x)$ и $Q(x)$ нашлась такая линейная функция $\ell(x)$, что $P(x)=Q(\ell(x))$ при всех вещественных $x$. Сколько может быть таких линейных функций $\ell(x)$? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Очевидно, что линейная функция $\ell(x) = ax+b$ (при $a\neq 0$) допускает (также линейную) обратную $\ell^{-1}(x) = \dfrac {1} {a } x - \dfrac {b} {a}$. Тогда, если $P(x)=Q(\ell_1(x)) = Q(\ell_2(x))$, мы также имеем $Q(x) = Q(\lambda(x))$, где $\ лямбда = \ell_2\circ \ell_1^{-1}$ является линейной, поэтому $\lambda(x) = \alpha x + \beta$ (при $\alpha \neq 0$).

Из определения доминирующих коэффициентов следует $|\alpha|=1$. (Тогда при $\deg Q = n\geq 2$ и работе с комплексными коэффициентами таких функций $\lambda$ может быть целых $n$, например $\lambda_k(x) = \textrm{e }^{2k\pi\textrm{i}/n} x$ для $Q(x) = x^n$). В дальнейшем предполагаем действительные коэффициенты.

Если $\deg Q = n\geq 2$, то для нечетных $n$ имеем $\alpha=1$, что приводит к $Q(x) = Q(x+\beta)$, то есть простой итерацией $Q( x) = Q(x+k\beta)$ для всех натуральных $k$; это, очевидно, приводит к $\beta = 0$, для которого $\lambda = \operatorname{id}$. Для четных $n$ мы также можем иметь $\alpha=-1$, что приводит к $Q(x) = Q(-x+\beta)$, таким образом, $\lambda \circ \lambda = \operatorname{id}$. Но мы не можем иметь $Q(x) = Q(-x+\gamma)$ для $\gamma \neq \beta$, так как тогда $Q(-x+\beta) = Q(-x+\gamma)$, поэтому $ Q(x) = Q(x+(\beta -\gamma))$, с очевидным противоречием, указанным выше. Отсюда следует, что в этом случае может существовать не более двух таких функций $\lambda$, непосредственным примером которых является $Q$, состоящая только из мономов четной степени, когда $\lambda = \pm \operatorname{id}$ работает.

В данном случае $\deg Q = 2$, что допускает более простое и прямое решение, основанное на симметрии графика квадратичного трехчлена.