Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2013 год

Докажите, что для любых положительных $x$, $y$, $z$, для которых $xyz=1$, выполнено неравенство $${x^3\over x^2+y}+{y^3\over y^2+z}+{z^3\over z^2+x}\geq {3\over 2}.$$ ( А. Голованов )

Комментарий/решение

$$\frac{x^3}{x^2+y}=x-\frac{xy}{x^2+y}$$

$$x+y+z\geq\frac{3}{2}+\frac{xy}{x^2+y}+\frac{yz}{y^2+z}+\frac{zx}{z^2+x}$$

$$\frac{xy}{x^2+y}\leq\frac{xy}{2x\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}}{2}$$

$$\frac{3}{2}+\frac{xy}{x^2+y}+\frac{yz}{y^2+z}+\frac{zx}{z^2+x}\leq\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{\sqrt{z}}{2}+\frac{\sqrt{x}}{2}$$

$$x+y+z+\left(\frac{3}{4}\right)\geq\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{\sqrt{z}}{2}+\frac{\sqrt{x}}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)$$

$$\frac{x}{4}+\frac{1}{4}\geq\frac{\sqrt{x}}{2}$$

$$\frac{3x}{4}+\frac{3y}{4}+\frac{3z}{4}\geq\frac{9}{4}=3*\left(\frac{\sqrt[3]{27xyz}}{4}\right)$$

хорошее решение

респа 2022 9 класс задача 5

немного по другому, но да.. не очень