Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2011 год
Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны
AB в точке P, а продолжений сторон AC и BC — в точках Q
и R соответственно. Докажите, что если середина PQ лежит на
описанной окружности треугольника ABC, то и середина PR тоже
лежит на этой описанной окружности.
(
С. Берлов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Докажем, что ABMN - вписанный четырехугольник. Тогда утверждение задачи очевидно.
Пусть ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ. Из равнобедренности треугольников APQ и BPR следует, что A,M,IC на одной прямой и B,N,IC на одной прямой, где IC - центр вневписанной окружности. ∠PBN=α+γ. Нам достаточно доказать, что ∠ICMN=α+γ. Пусть K=ICM∩QR. Докажем, что ∠ICKR=α+γ. Рассмотрим треугольник AQK. В нем ∠QAK=γ+β и ∠AQK=90∘−γ (это выходит из △CQR). Тогда легко понять, что ∠ICKR=∠AKQ=90∘−β=γ+α, т.к. α+β+γ=90∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.