Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2011 год


Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны AB в точке P, а продолжений сторон AC и BC — в точках Q и R соответственно. Докажите, что если середина PQ лежит на описанной окружности треугольника ABC, то и середина PR тоже лежит на этой описанной окружности. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  9
1 года 11 месяца назад #

Докажем, что ABMN - вписанный четырехугольник. Тогда утверждение задачи очевидно.

Пусть A=2α, B=2β, C=2γ. Из равнобедренности треугольников APQ и BPR следует, что A,M,IC на одной прямой и B,N,IC на одной прямой, где IC - центр вневписанной окружности. PBN=α+γ. Нам достаточно доказать, что ICMN=α+γ. Пусть K=ICMQR. Докажем, что ICKR=α+γ. Рассмотрим треугольник AQK. В нем QAK=γ+β и AQK=90γ (это выходит из CQR). Тогда легко понять, что ICKR=AKQ=90β=γ+α, т.к. α+β+γ=90