Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2007 год

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбраны точки $X$ и $Y$, на стороне $AC$ — точка $Z$, и на стороне $BC$ — точка $T$. При этом $XZ \parallel BC$, $YT \parallel AC$. Прямая $TZ$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что точки $X$, $Y$, $D$ и $E$ лежат на одной окружности. ( из материалов олимпиад )

Комментарий/решение

Пусть $TZ$ пересекает $AB$ в $S$, тогда $SA\cdot SB=SD\cdot SE\stackrel{?}{=}SX\cdot SY,$ то есть $\dfrac{SB}{SY}\stackrel{?}{=} \dfrac{SX}{SA}.$ Для этого просто рассмотрим следующее двойное отношение:

$$\frac{SX}{SA}=(X,A;S,\infty_{AB})\stackrel{Z}{=} (BC,AC;ZT,AB)\stackrel{T}{=} (B,Y;S,\infty_{AB})=\frac{SB}{SY},$$

что и требовалось.