Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2007 жыл

$ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасынан $X$ және $Y$ нүктелері, $AC$ қабырғасы бойынан $Z$ нүктесі, ал $BC$ қабырғасы бойынан $T$ нүктесі алынсын. Сонымен қатар $XZ\parallel BC$, $YT\parallel AC$ екені белгілі. $TZ$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $X$, $Y$, $D$ және $E$ нүктелері бір шеңбер бойында жататынын дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )

Комментарий/решение

Пусть $TZ$ пересекает $AB$ в $S$, тогда $SA\cdot SB=SD\cdot SE\stackrel{?}{=}SX\cdot SY,$ то есть $\dfrac{SB}{SY}\stackrel{?}{=} \dfrac{SX}{SA}.$ Для этого просто рассмотрим следующее двойное отношение:

$$\frac{SX}{SA}=(X,A;S,\infty_{AB})\stackrel{Z}{=} (BC,AC;ZT,AB)\stackrel{T}{=} (B,Y;S,\infty_{AB})=\frac{SB}{SY},$$

что и требовалось.