Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2006 жыл

Әртүрлі 10 тақ, жай сандар берілсін. Кез-келген екеуінің он алтыншы дәрежелерінің айырмасы қалған сандардың кез-келгеніне бөлінуі мүмкін бе? ( Ф. Петров, К. Сухов )

Комментарий/решение

Пусть $p$ наибольшее из этих простых. Тогда разность $16$ степеней любых двух их оставшихся чисел делиться на $p$. Если $p | a^{16}-b^{16} \Rightarrow a^8 \equiv b^8$ или $a^8 \equiv -b^8$. То есть всего возможно $2$ остатка для $8$ степени. Так как оставшихся чисел $9$, то среди них есть $5$, которые дают одинаковый остаток в $8$ степени по модулю $p$. Аналогично получаем, что есть $3$ числа которые в $4$ степени дают одинаковый остаток по модулю $p$. Применяя те же рассуждения получаем, что есть такие $a, b$, что $p | a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Так как $p>a,b \Rightarrow p>a-b$. Значит $p|a+b$. Но $2|a+b$ и $2p>a+b$, противоречие. Значит таких простых нет.