Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год
На катетах AC и BC равнобедренного прямоугольного треугольника
ABC отмечены точки D и E соответственно так, что CD=CE.
Перпендикуляры на прямую AE, проходящие
через точки C и D, пересекают сторону AB в точках P и Q.
Докажите, что BP=PQ.
(
из материалов олимпиад
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
→CP=(p;a−p)
→AB1=(m;−a)
→CP⋅→AB1=mp+pa−a2=0⇒p=a2m+a⇒P=(a2m+a;ama+m)
→AQ=(q;a−q−m)
→A1Q⋅→AB1=qm−a2+aq+am=0⇒q=a2−ama+m⇒Q=(a2−ama+m;2ama+m
⇒|→BP|=|→PQ|=ama+m
Возьмем такую точку T на прямой AC за точкой C что, TC=CE=CD. Тогда △TCB=△ECA так как ∠TCB=∠ECA и TC=EC, CA=CB. Тогда TB∥CP∥PQ так как ∠PCB=∠CAE=∠CBT и понятно что CP средняя линия.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.