Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2006 жыл

Натурал санды жай көбейткіштерге жіктегенде, әр жай санның дәрежелері реттелмеген түрде, дәрежелер жиынын құрасын. Мысалы, $180={{2}^{2}}\cdot {{2}^{2}}\cdot {{5}^{1}}$ және $882={{3}^{2}}\cdot {{2}^{1}}\cdot {{7}^{2}}$ сандарында бірдей дәрежелер жиыны 1, 2, 2. Әрбір $n$ үшін $({{a}_{n}})$ және $\left( {{b}_{n}} \right)$ сандарында бірдей дәрежелер жиыны болатындай, екі $\left( {{a}_{n}} \right)$ және $\left( {{b}_{n}} \right)$, өспелі арифметикалық прогрессиялары бар. Осы екі прогрессиялар пропорционал екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )