Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2005 год
Дан квадратный трехчлен f(x)=x2+ax+b с целыми коэффициентами,
удовлетворяющий неравенству f(x)≥−910 при любом x.
Докажите, что f(x)≥−14 при любом x.
(
А. Храбров
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение. x2+ax+b≥−0,9 ⟺ (2x+b)2+4b−a2≥−3,6. Пусть x=−−b2, тогда 4b−a2≥−3,6. Так как a,b - целые числа, то получим 4b−a2≥−3. Уравнения 4b−a2=−3 и 4b−a2=−2 не имеет решения, так квадрат целого числа не может давать остатки 2 и 3.. Следовательно, 4b−a2≥−1. Значит (2x+b)2+4b−a2≥−1, откуда f(x)≥−14 при любом x.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.