Processing math: 100%

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2005 год


Дан квадратный трехчлен f(x)=x2+ax+b с целыми коэффициентами, удовлетворяющий неравенству f(x)910 при любом x. Докажите, что f(x)14 при любом x. ( А. Храбров )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2 месяца 22 дней назад #

Решение. x2+ax+b0,9  (2x+b)2+4ba23,6. Пусть x=b2, тогда 4ba23,6. Так как a,b - целые числа, то получим 4ba23. Уравнения 4ba2=3 и 4ba2=2 не имеет решения, так квадрат целого числа не может давать остатки 2 и 3.. Следовательно, 4ba21. Значит (2x+b)2+4ba21, откуда f(x)14 при любом x.